前回学んだ三角形の外心・内心・重心と同じく，三角形の五心である垂心・傍心についても学びます。
目次
垂心
前回学んだ通り，三角形の辺の垂直二等分線\(3\)本や角の二等分線\(3\)本，中線\(3\)本は共点でした。 それぞれの交点を外心，内心，重心といいました。
同様に，三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線\(3\)本も共点です。
三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線は\(1\)点で交わる。 この共有点をこの三角形の垂心と呼ぶ。
さっそく証明してみましょう。 \(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{B}\)，\(\mathrm{C}\)から対辺に下ろした垂線をそれぞれ\(\mathrm{X}\)，\(\mathrm{Y}\)，\(\mathrm{Z}\)とします。
共点を示す方針はいくつかありますが，ここでは変わった方法をとります。 前回，三角形の各辺の垂直二等分線が共点であることを証明しました。 この交点は外心でしたね。
今回は二等分線ではありませんが，垂線であることは共通なので，垂直二等分線が共点であることを利用する方法があります。 つまり垂心が，ある三角形の外心になることを示すのです。
そのために，次のように各辺と平行で，その辺の向かい側の頂点を通る直線を引きます。 それらの交点を次図のように\(\mathrm{P}\)，\(\mathrm{Q}\)，\(\mathrm{R}\)とします。
なぜこんな補助線を引くのかは，少し議論を進めればすぐ分かります。 このとき，四角形\(\mathrm{ABCQ}\)などの平行四辺形ができますね。
平行四辺形の対辺は同じ長さですから，\(\mathrm{AB} = \mathrm{QC}\)，\(\mathrm{AQ} = \mathrm{BC}\)です。
同様に四角形\(\mathrm{RBCA}\)，\(\mathrm{ABPC}\)も平行四辺形ですから，その対辺の長さは等しく，次図のように長さの等しい線分が見つかります。
これで先ほどの補助線の意図が見えてきましたか？ 各垂線が何らかの三角形の垂直二等分線であれば，前回学んだ通り，それは共点だということになりますね。
その状況を作るために，各頂点の両側に長さの等しい線分を置き，新しい三角形\(\mathrm{PQR}\)を作ったわけです。 なぜ補助線を辺と平行に引いたかというと，垂線の「直角」を受け継ぐためです。 平行であれば錯角が等しいので，次が成り立つことが分かります。
これで正真正銘，\(\mathrm{AX}\)は辺\(\mathrm{RQ}\)の，\(\mathrm{BY}\)は辺\(\mathrm{RP}\)の，\(\mathrm{CZ}\)は辺\(\mathrm{PQ}\)の垂直二等分線になります。 したがって各垂線\(\mathrm{AX}\)，\(\mathrm{BY}\)，\(\mathrm{CZ}\)は共点であり，その交点は\(\triangle\mathrm{PQR}\)の外心です。
思い付くわけのない補助線を引くな！と思うかもしれませんが，実は上記の通り，先を見越した意図的な補助線なのです。 欲しい状況をつくるために引くのが補助線です。
傍心
五心の最後の\(1\)つは傍心です。
三角形の\(1\)つの頂点での内角の二等分線と，他の\(2\)頂点での外角の二等分線は\(1\)点で交わる。 この共有点をこの三角形の傍心と呼ぶ。
角の二等分線の交点という点では，内心と似ていますね。 内心と同じく，傍心も三角形に関するとある円の中心です。 その円を傍接円といい，三角形の\(1\)辺と他の\(2\)辺の延長線に接する円です。
図の通り，三角形の傍心・傍接円は\(3\)つあり，例えば内角\(\angle\mathrm{A}\)の二等分線上にある傍心を「\(\angle\mathrm{A}\)内の傍心」といいます。 では，これらの二等分線が共点であることと，この共有点（傍心）が傍接円の中心であることを証明しましょう。
交点を示す方針はいくつかありますが，\(2\)直線の交点が，残りの直線上の点でもあることを証明します。 具体的には，まず外角の二等分線の交点を考え，その点が他の内角の二等分線上にあることを証明します。
\(\angle\mathrm{B}\)，\(\angle\mathrm{C}\)での外角の二等分線の交点を\(\mathrm{P}\)とします。
証明すべきことは次の\(2\)点です。
- 点\(\mathrm{P}\)が\(\angle\mathrm{A}\)の二等分線上にあることを示せば，各二等分線が共点であることが分かる。
- 点\(\mathrm{P}\)と各辺（とその延長線）への距離が等しいことを示せば，この共有点が傍接円の中心であることが分かる。
これらを考えるため，各辺（とその延長線）への垂線（緑色）と線分\(\mathrm{AP}\)（赤色）を次のように引きます。
\(1\)点目を証明するには，\(\angle\mathrm{BAP} = \angle\mathrm{CAP}\)を示す必要があります。 角度が等しいことの証明には三角形の相似（合同）を活用できますから，まず\(2\)点目を証明することで三角形の相似（合同）を見つける材料を増やしましょう。
角の二等分線上の点が角をなす\(2\)直線と等距離にあることは，前回説明した通りです。 点\(\mathrm{P}\)は\(\angle\mathrm{H}_1\mathrm{BH}_2\)の二等分線上の点ですから，次が成り立ちます。
前回学んだことを思い出せなくても，三角形の合同を考えれば上の式は分かります。 \(\triangle\mathrm{PBH}_1\)と\(\triangle\mathrm{PBH}_2\)が，斜辺と\(1\)つの鋭角がそれぞれ等しいから合同ですね。 対応する辺が等しいことから，上の式が成り立ちます。
同様に点\(\mathrm{P}\)は\(\angle\mathrm{H}_2\mathrm{CH}_3\)の二等分線上の点でもありますから，次も成り立ちます。
これらの式から\(\mathrm{PH}_1 = \mathrm{PH}_3\)が成り立ちます。 したがって，点\(\mathrm{P}\)は三角形の各辺（とその延長線）と等距離にあり，これが傍接円の中心になっていることが分かりました。
同時に，この式から点\(\mathrm{P}\)が\(\mathrm{AH}_1\)，\(\mathrm{AH}_3\)と等距離にあるため，\(\angle\mathrm{H}_1\mathrm{AH}_3\)，つまり\(\angle\mathrm{A}\)の二等分線上にあることが分かります。 \(\triangle\mathrm{PAH}_1\)と\(\triangle\mathrm{PAH}_3\)が合同であることから証明しても良いですね。
これで示すべき\(2\)点を示せました。 これは傍心の\(1\)つについての証明ですが，当然他の傍心についても成り立つ議論です。
これまで学んだ外心・内心・重心・垂心・傍心を三角形の五心といいます。 それぞれの定義や性質を理解しておきましょう。
確認問題
\(\triangle\mathrm{ABC}\)が鋭角三角形（全ての内角が鋭角）であるとき，その垂心\(\mathrm{H}\)は三角形の内部にあります。 このとき，次の式が成り立つことを証明してください。
答え
「垂心」という情報を利用するために，線分\(\mathrm{BH}\)，\(\mathrm{CH}\)をそれぞれ辺\(\mathrm{CA}\)，\(\mathrm{AB}\)まで延長し，その交点をそれぞれ\(\mathrm{P}\)，\(\mathrm{Q}\)とすると，これは垂線になります。
したがって，四角形\(\mathrm{APHQ}\)の内角の和が\(360^{\circ}\)であることに注目すると，次の式が成り立ちます。
対頂角が等しいことから\(\angle\mathrm{PHQ} = \angle\mathrm{BHC}\)なので，次の式が成り立つことが分かります。
\(\triangle\mathrm{ABC}\)の内心を\(\mathrm{I}\)とします。 また，\(\angle\mathrm{A}\)内，\(\angle\mathrm{B}\)内，\(\angle\mathrm{C}\)内の傍心をそれぞれ\(\mathrm{P}\)，\(\mathrm{Q}\)，\(\mathrm{R}\)とします。
このとき，\(\triangle\mathrm{PQR}\)の垂心が\(\mathrm{I}\)であることを証明してください。
答え
結論から逆算して考えると，\(\triangle\mathrm{PQR}\)の各頂点と\(\mathrm{I}\)を結ぶ直線は，対辺と垂直に交わる必要がありますね。 そのような直線を引いて，実際にそうなることを確かめましょう。
ここで，\(\triangle\mathrm{ABC}\)の\(\angle\mathrm{X}\)の内角の二等分線上には，内心\(\mathrm{I}\)と\(\angle\mathrm{X}\)内の傍心の両方があることに注意します。 例えば\(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{I}\)，\(\mathrm{P}\)は一直線上に並びます。
したがって，\(\triangle\mathrm{PQR}\)の各頂点と\(\mathrm{I}\)を結ぶ直線は，いずれも\(\triangle\mathrm{ABC}\)の内角の二等分線であるため，それらが\(\triangle\mathrm{ABC}\)の内心\(\mathrm{I}\)の\(1\)点で交わることが分かります。
あとは\(\angle\mathrm{PAR}\)，\(\angle\mathrm{QBP}\)，\(\angle\mathrm{RCQ}\)が直角であることが分かれば，\(\mathrm{I}\)が\(\triangle\mathrm{PQR}\)の各頂点から対辺に引いた垂線の交点，すなわち垂心であることが分かります。
例えば\(\angle\mathrm{PAR}\)を考えると，\(\triangle\mathrm{ABC}\)の\(\angle\mathrm{A}\)での内角の二等分線上に\(\mathrm{P}\)，外角の二等分線上に\(\mathrm{Q}\)，\(\mathrm{R}\)があるため，次が成り立つことが分かります。
したがって，次が成り立ちます。
これで\(\angle\mathrm{PAR}\)が直角であることが分かりました。 同様に\(\angle\mathrm{QBP}\)，\(\angle\mathrm{RCQ}\)も直角であることが分かります。
したがって，\(\triangle\mathrm{PQR}\)の垂心は\(\mathrm{I}\)です。