直線\(\mathrm{AP}\)は\(\angle\mathrm{A}\)の二等分線ですから，点\(\mathrm{P}\)が辺\(\mathrm{BC}\)を内分する比は次のように分かります。

したがって，\(\mathrm{BP}\)は次のように求められます。

また，直線\(\mathrm{AQ}\)は頂点\(\mathrm{A}\)での外角の二等分線ですから，点\(\mathrm{Q}\)が辺\(\mathrm{BC}\)を外分する比は次のように分かります。

したがって，\(\mathrm{BQ} = x\)とすると，\(x\)は次のように求められます。

以上より，\(\mathrm{PQ}\)は次のように求められます。

面積比を考える問題です。 三角形の面積比を求める問題はよくありますが，大抵は面積そのものを求める必要はありません。

三角形の面積は「底辺\(\times\)高さ\(\div 2\)」で求められますから，底辺が等しい三角形の面積比は高さの比と等しいですし，高さが等しい三角形の面積比は底辺の比と等しいです。

1. 三角形の角の二等分線を考えていますから，各辺がどんな比で内分されているかが分かります。 図に書き込んでおきましょう。

   

   目的は\(\triangle\mathrm{ABP}\)の面積を考えることですが，頂点\(\mathrm{A}\)から垂線を下ろして高さとすることを考えると，実は\(\triangle\mathrm{ABP}\)と\(\triangle\mathrm{ABC}\)の高さは全く同じです。 なのでこれらの面積比は底辺の比に等しいです。

   

   \(\mathrm{BP} : \mathrm{PC} = c : b\)ですから，底辺の比を考えると，\(\triangle\mathrm{ABP}\)の面積は次のようになります。

   \( \begin{align} \triangle\mathrm{ABP} &= \displaystyle\frac{c}{b + c} \triangle\mathrm{ABC} \\[5pt] &= \textcolor{red}{\displaystyle\frac{c}{b + c}S} \end{align} \)

2. 前問と同様に考えます。 頂点\(\mathrm{P}\)から垂線を下ろして高さとすると，\(\triangle\mathrm{BRP}\)と\(\triangle\mathrm{ABP}\)の高さは同じです。 したがって，面積比は底辺の比に等しいです。

   

   \(\mathrm{BR} : \mathrm{RA} = a : b\)ですから，底辺の比を考えると，\(\triangle\mathrm{BRP}\)の面積は次のようになります。

   \( \begin{align} \triangle\mathrm{BRP} &= \displaystyle\frac{a}{a + b} \triangle\mathrm{ABP} \\[5pt] &= \displaystyle\frac{a}{a + b} \cdot \displaystyle\frac{c}{b + c}S \\[5pt] &= \textcolor{red}{\displaystyle\frac{ca}{(a + b)(b + c)}S} \end{align} \)

3. (1)，(2)と同様に考えると，\(\triangle\mathrm{AQR}\)，\(\triangle\mathrm{CPQ}\)の面積も分かります。

   \(\triangle\mathrm{AQR}\)を求めるときはまず\(\triangle\mathrm{ABQ}\)から考え，\(\triangle\mathrm{CPQ}\)を求めるときはまず\(\triangle\mathrm{ACP}\)から考えます。 底辺の比を考えれば，それぞれの面積は次のようになると分かります。

   \( \begin{align} \triangle\mathrm{AQR} &= \displaystyle\frac{bc}{(a + b)(c + a)}S \\[5pt] \triangle\mathrm{CPQ} &= \displaystyle\frac{ab}{(b + c)(c + a)}S \end{align} \)

   \(\triangle\mathrm{PQR}\)は\(\triangle\mathrm{ABC}\)から\(\triangle\mathrm{AQR}\)，\(\triangle\mathrm{BRP}\)，\(\triangle\mathrm{CPQ}\)を除いたものですから，これでその面積が分かります。

   \( \begin{align} &\quad\triangle\mathrm{PQR} \\[5pt] &= \triangle\mathrm{ABC} - \triangle\mathrm{AQR} - \triangle\mathrm{BRP} - \triangle\mathrm{CPQ} \\[5pt] &= S - \displaystyle\frac{bc}{(a + b)(c + a)}S - \displaystyle\frac{ca}{(a + b)(b + c)}S - \displaystyle\frac{ab}{(b + c)(c + a)}S \\[5pt] &= \left\{ 1 - \displaystyle\frac{bc}{(a + b)(c + a)} - \displaystyle\frac{ca}{(a + b)(b + c)} - \displaystyle\frac{ab}{(b + c)(c + a)} \right\} S \\[5pt] &= \displaystyle\frac{(a + b)(b + c)(c + a) - ab(a + b) - bc(b + c) - ca(c + a)}{(a + b)(b + c)(c + a)}S \\[5pt] &= \textcolor{red}{\displaystyle\frac{2abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}S} \end{align} \)

   最後の分子の計算は素直にやると面倒ですが，\((a + b)(b + c)(c + a)\)を展開して出てくる項をよく考えると簡単です。 まず\(abc\)は\(2\)回だけ出てきます。 その他の項は\(a\)，\(b\)，\(c\)のうち\(2\)種類だけの積からなる項ですが，それらは全て\((a + b)(b + c)(c + a)\)の後ろの項に打ち消されます。

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = m : n\)とすると，問題の条件を下図のように表せます。

証明方法はざっくり\(2\)通りあります。 順に見ていきましょう。

まずは短い証明です。

もうひとつの証明は，より正攻法的な方法です。 本文でこの問題の逆を証明しましたが，その手順を再利用します。

頂点\(\mathrm{C}\)を通り線分\(\mathrm{AP}\)と平行な線分\(\mathrm{CX}\)を引きます。 ただし点\(\mathrm{X}\)は辺\(\mathrm{AB}\)の延長上にとります。

ここで，\(\mathrm{AP} /\!/ \mathrm{XC}\)であることから，平行線と線分の比の関係より，次が成り立ちます。

\( \begin{align} \mathrm{BA} : \mathrm{AX} &= \mathrm{BP} : \mathrm{PC} \\[5pt] &= m : n \end{align} \)

線分\(\mathrm{AB}\)の長さを\(m\)としたときの線分\(\mathrm{AX}\)，\(\mathrm{AC}\)の長さがともに\(n\)なのですから，\(\triangle\mathrm{ACX}\)は二等辺三角形です。 したがって，その底角は等しいです。

また，\(\mathrm{AP} /\!/ \mathrm{XC}\)であることから，同位角である\(\angle\mathrm{BAP}\)と\(\angle\mathrm{BXC}\)が等しく，錯角である\(\angle\mathrm{PAC}\)と\(\angle\mathrm{ACX}\)が等しいです。

したがって，次が成り立ちます。

\( \begin{align} \angle\mathrm{BAP} &= \angle\mathrm{BXC} \\[5pt] &= \angle\mathrm{ACX} \\[5pt] &= \angle\mathrm{PAC} \end{align} \)

以上より，線分\(\mathrm{AP}\)は\(\angle\mathrm{A}\)を二等分します。